N10. Площадь между \( y = 2x - x^2 \) и осью \( Ox \).

Решение:

Сначала найдём точки пересечения параболы \( y = 2x - x^2 \) с осью \( Ox \) (то есть, где \( y = 0 \)):

\( 2x - x^2 = 0 \)

\( x(2 - x) = 0 \)

Следовательно, \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \). Это пределы интегрирования.

Парабола \( y = 2x - x^2 \) ветвями направлена вниз (коэффициент при \( x^2 \) отрицательный), поэтому на отрезке \( [0, 2] \) функция положительна, и площадь будет вычисляться как интеграл от \( 0 \) до \( 2 \).

\( S = \int_0^2 (2x - x^2) dx \)

Найдём первообразную:

\( F(x) = \int (2x - x^2) dx = 2 \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = x^2 - \frac{x^3}{3} \)

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( S = F(2) - F(0) = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) \)

\( S = (4 - \frac{8}{3}) - 0 = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \)

Ответ: Площадь равна \( \frac{4}{3} \).