N4. Вычислить: \( \int_0^4 (x-1) dx \)

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_0^4 (x-1) dx \) сначала найдём первообразную для функции \( f(x) = x-1 \), а затем применим формулу Ньютона-Лейбница.

1. Найдём первообразную: \( F(x) = \int (x-1) dx = \frac{x^2}{2} - x + C \).
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).
3. Подставим пределы интегрирования:

\[ F(4) - F(0) = \left( \frac{4^2}{2} - 4 \right) - \left( \frac{0^2}{2} - 0 \right) \]

\[ = \left( \frac{16}{2} - 4 \right) - (0) \]

\[ = (8 - 4) \]

\[ = 4 \]

Ответ: 4.