596. Известно, что числа а², b², с² — последовательные члены ариф- метической прогрессии. Докажите, что числа 1 1 1 также являются последовательными членами некоторой ариф- метической прогрессии. b+c' a+c' a+b

Ответ (RU):

Дано: $$a^2, b^2, c^2$$ - последовательные члены арифметической прогрессии.

Доказать, что $$\frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b}$$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Решение:

Так как $$a^2, b^2, c^2$$ - последовательные члены арифметической прогрессии, то $$b^2 - a^2 = c^2 - b^2$$

$$2b^2 = a^2 + c^2$$

Чтобы доказать, что $$\frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b}$$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии, нужно показать, что $$ \frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c} $$

$$ \frac{b+c - (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{a+c - (a+b)}{(a+b)(a+c)} $$

$$ \frac{b-a}{(a+c)(b+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)} $$

$$ \frac{b-a}{b+c} = \frac{c-b}{a+b} $$

$$(b-a)(a+b) = (c-b)(b+c)$$

$$b^2 - a^2 = c^2 - b^2$$

$$2b^2 = a^2 + c^2$$

Это условие выполняется, следовательно, $$\frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b}$$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии.