595. Докажите, что если числа а, в, с являются последовательны- ми членами арифметической прогрессии, то числа а² + ab + b², а² + ас + с² и в² + bc + с² также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Ответ (RU):

Пусть $$a, b, c$$ - последовательные члены арифметической прогрессии. Тогда $$b = a + d$$ и $$c = a + 2d$$, где $$d$$ - разность прогрессии.

Рассмотрим числа $$a^2 + ab + b^2$$, $$a^2 + ac + c^2$$ и $$b^2 + bc + c^2$$:

1) $$a^2 + ab + b^2 = a^2 + a(a+d) + (a+d)^2 = a^2 + a^2 + ad + a^2 + 2ad + d^2 = 3a^2 + 3ad + d^2$$

2) $$a^2 + ac + c^2 = a^2 + a(a+2d) + (a+2d)^2 = a^2 + a^2 + 2ad + a^2 + 4ad + 4d^2 = 3a^2 + 6ad + 4d^2$$

3) $$b^2 + bc + c^2 = (a+d)^2 + (a+d)(a+2d) + (a+2d)^2 = a^2 + 2ad + d^2 + a^2 + 3ad + 2d^2 + a^2 + 4ad + 4d^2 = 3a^2 + 9ad + 7d^2$$

Чтобы доказать, что эти числа являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии, нужно показать, что разность между соседними членами одинакова.

Разность между первым и вторым членами:

$$D_1 = (3a^2 + 6ad + 4d^2) - (3a^2 + 3ad + d^2) = 3ad + 3d^2$$

Разность между вторым и третьим членами:

$$D_2 = (3a^2 + 9ad + 7d^2) - (3a^2 + 6ad + 4d^2) = 3ad + 3d^2$$

Так как $$D_1 = D_2$$, то числа $$a^2 + ab + b^2$$, $$a^2 + ac + c^2$$ и $$b^2 + bc + c^2$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Что и требовалось доказать.