4. Докажите тождество ctg t · sin²t = (tg t + ctg t)⁻¹.

Ответ: Тождество доказано.

1. Левая часть: ctg t \(\cdot\) sin²t = (cos t / sin t) \(\cdot\) sin²t = cos t \(\cdot\) sin t.
2. Правая часть: (tg t + ctg t)⁻¹ = (sin t / cos t + cos t / sin t)⁻¹ = ((sin²t + cos²t) / (sin t \(\cdot\) cos t))⁻¹ = (1 / (sin t \(\cdot\) cos t))⁻¹ = sin t \(\cdot\) cos t.
3. Следовательно, cos t \(\cdot\) sin t = sin t \(\cdot\) cos t, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.