28. Докажите, что отрезок, соединяющий центры оснований параллелепипеда, параллелен боковым ребрам.

Пусть дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Обозначим центры оснований как O и O₁, где O - центр основания ABCD, а O₁ - центр основания A₁B₁C₁D₁.

Центр основания - точка пересечения диагоналей основания. Таким образом, O - точка пересечения AC и BD, а O₁ - точка пересечения A₁C₁ и B₁D₁.

Так как ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед, то основания ABCD и A₁B₁C₁D₁ являются параллелограммами, и AC || A₁C₁, BD || B₁D₁.

Рассмотрим вектор OO₁. Его можно представить как сумму векторов, например: OO₁ = OA + AA₁ + A₁O₁.

Так как OA = -1/2 AC и A₁O₁ = 1/2 A₁C₁, то векторы OA и A₁O₁ параллельны. Кроме того, AA₁ - боковое ребро параллелепипеда.

Докажем, что вектор OO₁ параллелен боковым ребрам, то есть AA₁.

Пусть OO₁ = AA₁ + OC₁ + C₁O₁ = OC + CC₁ + C₁O₁ = OC + CC₁ - C₁A₁ = OA + AA₁.

Вектор OO₁ можно выразить через другие векторы.

Четырехугольник ACC₁A₁ является параллелограммом, поэтому AC || A₁C₁.

Таким образом, вектор OO₁ направлен вдоль боковых ребер параллелепипеда, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что отрезок, соединяющий центры оснований параллелепипеда, параллелен боковым ребрам.