19*. Cropона основания правильной четырехугольной призмы равна 15, высота равна 20. Найдите кратчайшее расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы (рис. 429).

Пусть сторона основания равна a = 15, высота призмы равна h = 20. Нужно найти расстояние от стороны основания до диагонали призмы, которая не пересекает эту сторону.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой призмы, половиной стороны основания и искомым расстоянием. Кратчайшее расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы можно найти как высоту, проведенную к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, образованном половиной стороны основания (a/2), высотой призмы (h) и половиной диагонали боковой грани.

Гипотенуза равна $$\sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{20^2 + (15/2)^2} = \sqrt{400 + 56.25} = \sqrt{456.25} = 21.36$$

Площадь треугольника равна $$S = (a/2) \cdot h / 2 = (15/2) \cdot 20 / 2 = 7.5 \cdot 10 = 75$$.

Искомое расстояние (высота) можно найти как $$r = \frac{2S}{гипотенуза} = \frac{2 \cdot 75}{21.36} = \frac{150}{21.36} \approx 7.02$$

Ответ: 7.02