Билет № 14, Задача 74.

Решение:

В прямоугольном треугольнике один катет \( a = 10 \). Прилежащий к нему острый угол \( \alpha = 60° \). Гипотенуза \( c = 20 \).

Найдем второй катет \( b \).

Из определения косинуса:

\[ \cos(\alpha) = \frac{a}{c} \]\[ \cos(60°) = \frac{10}{20} \]\[ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

Это подтверждает правильность данных. Теперь найдем второй катет \( b \).

Из определения тангенса:

\[ \tan(\alpha) = \frac{b}{a} \]\[ \tan(60°) = \frac{b}{10} \]\[ b = 10 \cdot \tan(60°) \]\[ b = 10 \cdot \sqrt{3} \]

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\[ S = \frac{1}{2} a \cdot b \]\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (10\sqrt{3}) \]\[ S = 5 \cdot 10\sqrt{3} \]\[ S = 50\sqrt{3} \]

Ответ: \( 50\sqrt{3} \).