Билет № 10, Задача 55.

Решение:

В равнобедренной трапеции сумма двух углов равна \( 140° \). Возможны два случая:

1. Сумма двух углов при одном основании равна \( 140° \). Так как углы при основании равны, каждый из них равен \( \frac{140°}{2} = 70° \). Тогда углы при другом основании равны \( 180° - 70° = 110° \). Больший угол трапеции равен \( 110° \).
2. Сумма двух смежных углов (прилежащих к боковой стороне) равна \( 140° \). Пусть эти углы равны \( x \) и \( 140° - x \). Так как углы при боковой стороне в сумме дают \( 180° \), то \( x + (140° - x) = 180° \), что неверно.
3. Сумма двух прилежащих к разным основаниям углов равна \( 140° \). Пусть это будут углы \( \) и \( \beta \), где \( + \beta = 140° \). В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, а сумма углов при соседнем основании равна \( 180° \).

Рассмотрим случай, когда два угла при одном из оснований равны \( 70° \) каждый. Тогда сумма двух углов при другом основании равна \( 2 \cdot 180° - 70°\) = \( 2 \cdot 110° \) = \( 220° \). Это противоречит условию, что сумма ДВУХ углов равна \( 140° \).

Значит, \( 140° \) — это сумма двух углов при одном основании, где один угол относится к верхнему, а другой — к нижнему основанию.

Пусть \( \) и \( \beta \) — углы при одном основании, \( = \beta \). Пусть \( \gamma \) и \( \delta \) — углы при другом основании, \( \gamma = \delta \).

У нас два случая:

1. \( + \gamma = 140° \). Так как \( + \gamma = 180° \), это невозможно.
2. \( + = 140° \). Тогда \( 2 = 140° \), \( = 70° \). Тогда \( \gamma = 180° - 70° = 110° \). Больший угол трапеции равен \( 110° \).

Ответ: 110°.