9. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} |x| - |y| = 2,\\ 4x + 3|y| = 15. \end{cases} \]

Решение:

Рассмотрим различные случаи знаков \( x \) и \( y \).

Случай 1: \( x \ge 0, y \ge 0 \).

Система принимает вид:

\[
\begin{cases}
x - y = 2,\\
4x + 3y = 15.
\end{cases}
\]

Из первого уравнения \( x = y + 2 \). Подставим во второе:

\( 4(y + 2) + 3y = 15 \)

\( 4y + 8 + 3y = 15 \)

\( 7y = 7 \) \( \implies y = 1 \)

Тогда \( x = 1 + 2 = 3 \).

Проверка: \( |3| - |1| = 3 - 1 = 2 \). \( 4(3) + 3|1| = 12 + 3 = 15 \). Решение \( (3, 1) \) подходит.

Случай 2: \( x < 0, y \ge 0 \).

Система принимает вид:

\[
\begin{cases}
-x - y = 2,\\
4x + 3y = 15.
\end{cases}
\]

Из первого уравнения \( -x = y + 2 \) \( \implies x = -y - 2 \). Подставим во второе:

\( 4(-y - 2) + 3y = 15 \)

\( -4y - 8 + 3y = 15 \)

\( -y = 23 \) \( \implies y = -23 \).

Полученное \( y = -23 \) противоречит условию \( y \ge 0 \). Этот случай не даёт решений.

Случай 3: \( x \ge 0, y < 0 \).

Система принимает вид:

\[
\begin{cases}
x - (-y) = 2 \implies x + y = 2,\\
4x + 3(-y) = 15 \implies 4x - 3y = 15.
\end{cases}
\]

Из первого уравнения \( x = 2 - y \). Подставим во второе:

\( 4(2 - y) - 3y = 15 \)

\( 8 - 4y - 3y = 15 \)

\( -7y = 7 \) \( \implies y = -1 \).

Тогда \( x = 2 - (-1) = 3 \).

Проверка: \( |3| - |-1| = 3 - 1 = 2 \). \( 4(3) + 3|-1| = 12 + 3 = 15 \). Решение \( (3, -1) \) подходит.

Случай 4: \( x < 0, y < 0 \).

Система принимает вид:

\[
\begin{cases}
-x - (-y) = 2 \implies -x + y = 2,\\
4x + 3(-y) = 15 \implies 4x - 3y = 15.
\end{cases}
\]

Из первого уравнения \( y = x + 2 \). Подставим во второе:

\( 4x - 3(x + 2) = 15 \)

\( 4x - 3x - 6 = 15 \)

\( x = 21 \).

Полученное \( x = 21 \) противоречит условию \( x < 0 \). Этот случай не даёт решений.

Ответ: (3; 1), (3; -1).