6. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{4} = \frac{2x - y}{3},\\ x - y = 1. \end{cases} \]

Решение:

Сначала преобразуем первое уравнение, чтобы избавиться от дробей. Общий знаменатель для 2, 4, 3 равен 12.

Умножим обе части первого уравнения на 12:

\( 12 \cdot \frac{x}{2} + 12 \cdot \frac{y}{4} = 12 \cdot \frac{2x - y}{3} \)

\( 6x + 3y = 4(2x - y) \)

\( 6x + 3y = 8x - 4y \)

Перенесём члены с \( x \) и \( y \) в одну сторону:

\( 3y + 4y = 8x - 6x \)

\( 7y = 2x \)

Теперь у нас есть новая система:

\[
\begin{cases}
7y = 2x,\\
x - y = 1.
\end{cases}
\]

Из второго уравнения выразим \( x \):

\( x = y + 1 \)

Подставим это выражение в первое уравнение:

\( 7y = 2(y + 1) \)

\( 7y = 2y + 2 \)

\( 7y - 2y = 2 \)

\( 5y = 2 \)

\( y = \frac{2}{5} = 0.4 \)

Теперь найдём \( x \) , подставив \( y = 0.4 \) в \( x = y + 1 \):

\( x = 0.4 + 1 \)

\( x = 1.4 \)

Проверим решение в исходных уравнениях.

Первое: \( \frac{1.4}{2} + \frac{0.4}{4} = 0.7 + 0.1 = 0.8 \). \( \frac{2(1.4) - 0.4}{3} = \frac{2.8 - 0.4}{3} = \frac{2.4}{3} = 0.8 \). Верно.

Второе: \( 1.4 - 0.4 = 1 \). Верно.

Ответ: x = 1.4, y = 0.4.