5. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 8(2x + y) - 2y = -76,\\ 4(x - 3y) + 10y = -12. \end{cases} \]

Решение:

Сначала раскроем скобки и упростим уравнения:

Первое уравнение:

\( 16x + 8y - 2y = -76 \)

\( 16x + 6y = -76 \)

Разделим на 2:

\( 8x + 3y = -38 \) (1)

Второе уравнение:

\( 4x - 12y + 10y = -12 \)

\( 4x - 2y = -12 \)

Разделим на 2:

\( 2x - y = -6 \) (2)

Теперь решим полученную систему способом подстановки или сложения. Возьмём способ подстановки. Из уравнения (2) выразим \( y \):

\( y = 2x + 6 \)

Подставим это выражение в уравнение (1):

\( 8x + 3(2x + 6) = -38 \)

\( 8x + 6x + 18 = -38 \)

\( 14x = -38 - 18 \)

\( 14x = -56 \)

\( x = \frac{-56}{14} \)

\( x = -4 \)

Теперь найдём \( y \), подставив \( x = -4 \) в \( y = 2x + 6 \):

\( y = 2(-4) + 6 \)

\( y = -8 + 6 \)

\( y = -2 \)

Проверим решение в исходных уравнениях.

Первое: \( 8(2(-4) + (-2)) - 2(-2) = 8(-8 - 2) + 4 = 8(-10) + 4 = -80 + 4 = -76 \). Верно.

Второе: \( 4(-4 - 3(-2)) + 10(-2) = 4(-4 + 6) - 20 = 4(2) - 20 = 8 - 20 = -12 \). Верно.

Ответ: x = -4, y = -2.