8. Решите уравнение: \(\frac{x^2-3}{x-2} - \frac{x-2}{x+2} = 0\)

Краткая запись:

• Уравнение: \(\frac{x^2-3}{x-2} - \frac{x-2}{x+2} = 0\)
• Найти: x

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем общий знаменатель: (x-2)(x+2) = x² - 4.
2. Шаг 2: Приведем дроби к общему знаменателю:
   \(\frac{(x^2-3)(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{(x-2)(x-2)}{(x+2)(x-2)} = 0\).
3. Шаг 3: Раскроем скобки в числителях:
   \(\frac{(x^3 + 2x^2 - 3x - 6) - (x^2 - 4x + 4)}{x^2-4} = 0\).
4. Шаг 4: Упростим числитель:
   \(\frac{x^3 + 2x^2 - 3x - 6 - x^2 + 4x - 4}{x^2-4} = 0\).
   \(\frac{x^3 + x^2 + x - 10}{x^2-4} = 0\).
5. Шаг 5: Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
   Числитель: x³ + x² + x - 10 = 0.
   Проверим целочисленные делители числа -10: ±1, ±2, ±5, ±10.
   При x = 2: 2³ + 2² + 2 - 10 = 8 + 4 + 2 - 10 = 4 ≠ 0.
   При x = -2: (-2)³ + (-2)² + (-2) - 10 = -8 + 4 - 2 - 10 = -16 ≠ 0.
   При x = 5/2: (5/2)³ + (5/2)² + 5/2 - 10 = 125/8 + 25/4 + 5/2 - 10 = (125 + 50 + 20 - 80)/8 = 115/8 ≠ 0.
   При x=1: 1+1+1-10 = -7.
   Проверим, что ошибка не в расчетах.
   Переформулируем: \(\frac{x^2-3}{x-2} = \frac{x-2}{x+2}\)
   \((x^2-3)(x+2) = (x-2)(x-2)\)
   \(x^3 + 2x^2 - 3x - 6 = x^2 - 4x + 4\)
   \(x^3 + x^2 + x - 10 = 0\)
   Найдем корень методом подбора. Если x=2, знаменатель обращается в 0.
   Если x=-2, знаменатель обращается в 0.
   Подставим x = 1: 1 + 1 + 1 - 10 = -7.
   Подставим x = 2: 8 + 4 + 2 - 10 = 4.
   Попробуем дробные корни.
   Для этого уравнения нет простых рациональных корней, кроме тех, что обращают знаменатель в ноль. Возможно, в условии есть опечатка.
   Если предположить, что второе выражение было \(\frac{x-3}{x+2}\), то:
   \((x^2-3)(x+2) = (x-2)(x-3)\)
   \(x^3 + 2x^2 - 3x - 6 = x^2 - 5x + 6\)
   \(x^3 + x^2 + 2x - 12 = 0\)
   Если x = 2: 8 + 4 + 4 - 12 = 4.
   Если предположить, что первое выражение было \(\frac{x^2-3}{x+2}\), а второе \(\frac{x-2}{x-2}\) (что некорректно), то:
   \(\frac{x^2-3}{x+2} = 1\)
   \(x^2-3 = x+2\)
   \(x^2 - x - 5 = 0\)
   \(x = \frac{1 ± \sqrt{1 - 4(1)(-5)}}{2} = \frac{1 ± \sqrt{21}}{2}\)
6. Шаг 6: Исходя из того, что корни уравнения должны быть простыми, предположим, что в условии была опечатка и уравнение должно было иметь более простое решение. Если принять, что ответ — число, не обращающее знаменатель в ноль, то решение найти сложно.

Ответ: Без уточнения условия задачи или исправления возможных опечаток, точное решение не представляется возможным.