8. Решите систему уравнений \( \begin{cases} x^2+y=5 \\ 6x^2-y=2 \end{cases} \).

Задание 8. Решение системы уравнений

Дано: система уравнений \( \begin{cases} x^2+y=5 \\ 6x^2-y=2 \end{cases} \).

Решение:

Удобнее всего решить эту систему методом сложения, так как \( y \) и \( -y \) уничтожатся при сложении уравнений.

1. Сложим оба уравнения:
2. \( (x^2 + y) + (6x^2 - y) = 5 + 2 \)
3. \( x^2 + 6x^2 + y - y = 7 \)
4. \( 7x^2 = 7 \)
5. Разделим обе части на 7:
6. \( x^2 = 1 \)
7. Отсюда получаем два возможных значения для \( x \): \( x = 1 \) или \( x = -1 \).
8. Теперь найдём соответствующие значения \( y \), подставив найденные \( x \) в любое из исходных уравнений. Возьмём первое уравнение: \( x^2 + y = 5 \).
9. Если \( x = 1 \):
10. \( 1^2 + y = 5 \)
11. \( 1 + y = 5 \)
12. \( y = 5 - 1 \)
13. \( y = 4 \)
14. Таким образом, первая пара решений: \( (1; 4) \).
15. Если \( x = -1 \):
16. \( (-1)^2 + y = 5 \)
17. \( 1 + y = 5 \)
18. \( y = 5 - 1 \)
19. \( y = 4 \)
20. Вторая пара решений: \( (-1; 4) \).

Ответ: \( (1; 4) \) и \( (-1; 4) \).