10. Постройте график функции и опделите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общ точки.

Задание 10. Построение графика функции

Дано: Функция \( y = \begin{cases} x^2-4x, & \text{если } x \ge -1 \\ x+6, & \text{если } x < -1 \end{cases} \)

Построение графика:

График состоит из двух частей:

1. Первая часть: \( y = x^2 - 4x \) при \( x \ge -1 \).
• Это часть параболы. Найдём вершину параболы \( y = ax^2 + bx + c \) по формуле \( x_v = -\frac{b}{2a} \).
• \( x_v = -\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2 \).
• Найдём значение \( y \) в вершине: \( y_v = 2^2 - 4 \times 2 = 4 - 8 = -4 \). Вершина находится в точке \( (2; -4) \).
• Найдем значение функции в точке \( x = -1 \) (граничная точка): \( y = (-1)^2 - 4(-1) = 1 + 4 = 5 \). Точка \( (-1; 5) \) будет «закрашенной», так как \( x \ge -1 \).
• Также найдём точки пересечения с осью X, решив \( x^2 - 4x = 0 \): \( x(x-4) = 0 \), то есть \( x=0 \) и \( x=4 \). Обе эти точки попадают в область \( x ≥ -1 \).
2. Вторая часть: \( y = x + 6 \) при \( x < -1 \).
• Это часть прямой линии.
• Найдём значение функции в граничной точке \( x = -1 \): \( y = -1 + 6 = 5 \). Эта точка \( (-1; 5) \) будет «выколотой», так как \( x < -1 \).
• Возьмём ещё одну точку, например, \( x = -2 \): \( y = -2 + 6 = 4 \). Точка \( (-2; 4) \).

Общий вид графика:

На графике будет парабола, начинающаяся в точке \( (-1; 5) \) (включительно), с вершиной в \( (2; -4) \) и пересекающая ось X в точках 0 и 4. Вторая часть графика — прямая, которая проходит через точку \( (-1; 5) \) (не включая её) и идёт влево и вверх.

Определение значений m:

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых эта прямая пересекает график функции ровно в двух точках.

• Одна точка пересечения:
• Если \( m < -4 \) (ниже вершины параболы), прямая \( y=m \) не пересечёт график.
• Если \( m = -4 \) (через вершину параболы), прямая пересечёт график в одной точке (вершина параболы).
• Если \( m > 5 \) (выше точки \( (-1; 5) \)), прямая пересечёт только часть прямой \( y=x+6 \) в одной точке.
• Две точки пересечения:
• Когда \( -4 < m < 5 \), прямая \( y = m \) пересекает параболу \( y = x^2 - 4x \) в двух точках.
• Когда \( m = 5 \), прямая \( y=5 \) проходит через «закрашенную» точку \( (-1; 5) \) графика параболы и пересекает прямую \( y = x+6 \) в «выколотой» точке \( (-1; 5) \). Таким образом, в точке \( x = -1 \) будет одно пересечение (поскольку точка \( (-1; 5) \) принадлежит первой части графика). Если \( m=5 \), прямая \( y=5 \) пересекает график в точке \( x=-1 \) (часть параболы) и при \( x+6=5 \), т.е. \( x=-1 \). То есть, при \( m=5 \) будет только одна точка пересечения \( (-1; 5) \).
• Три точки пересечения:
• Если \( -4 < m < 5 \), прямая пересекает параболу в двух точках.
• Если \( m > 5 \), прямая пересекает только прямую \( y = x+6 \) в одной точке.
• Чтобы получить ровно две точки пересечения, нам нужно, чтобы прямая \( y=m \) пересекала параболу \( y = x^2 - 4x \) в двух точках, и при этом одна из этих точек не попадала бы под область определения \( x ≥ -1 \), или чтобы прямая пересекала параболу в одной точке (вершине) и прямую \( y = x+6 \) в другой.

Давайте пересмотрим:

График:

• Часть параболы \( y = x^2 - 4x \) для \( x ≥ -1 \). Вершина \( (2; -4) \). Левая граничная точка \( (-1; 5) \) (включительно).
• Часть прямой \( y = x + 6 \) для \( x < -1 \). Правая граничная точка \( (-1; 5) \) (не включительно).

Анализ пересечений с \( y = m \):

• \( m < -4 \): 0 точек.
• \( m = -4 \): 1 точка (вершина параболы).
• \( -4 < m < 5 \): 2 точки (пересечения с параболой).
• \( m = 5 \): 1 точка (только \( x = -1 \) для параболы, так как \( (-1; 5) \) — «закрашенная» точка). Прямая \( y=x+6 \) при \( x=-1 \) также равна 5, но эта точка «выколота» для прямой.
• \( m > 5 \): 1 точка (пересечение с прямой \( y = x+6 \)).

Таким образом, ровно две точки пересечения получаются, когда \( -4 < m < 5 \).

Ответ: \( (-4; 5) \).