6. Окружность, вписанная в равнобокую трапецию, делит точкой касания боковую сторону на отрезки длиной 2 см и 32 см. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть \( a \) и \( b \) — основания трапеции, \( c \) — боковая сторона. В равнобокой трапеции боковые стороны равны. Окружность, вписанная в трапецию, касается боковой стороны в точке, делящей ее на отрезки \( x = 2 \) см и \( y = 32 \) см.

Таким образом, длина боковой стороны \( c = x + y = 2 + 32 = 34 \) см.

Свойство вписанной окружности в трапецию: сумма оснований равна сумме боковых сторон. \( a + b = c + c = 2c \).

\( a + b = 2 × 34 = 68 \) см.

Рассмотрим высоту \( h \) трапеции. Опустим перпендикуляры из концов меньшего основания на большее. Получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза — боковая сторона \( c \), а катеты — высота \( h \) и отрезок, равный \( \frac{|a-b|}{2} \).

Однако, для вписанной окружности существует другое важное свойство, связанное с точками касания. Если окружность касается боковой стороны в точке, делящей ее на отрезки \( x \) и \( y \), то радиус окружности \( r \) равен \( \sqrt{xy} \).

В нашем случае \( x = 2 \) см и \( y = 32 \) см.

Радиус вписанной окружности \( r = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8 \) см.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности: \( h = 2r \).

\( h = 2 \cdot 8 = 16 \) см.

Ответ: Высота трапеции равна 16 см.