4. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной треугольника и высотой, проведённой к его основанию.

Задание 4. Тригонометрические функции в равнобедренном треугольнике

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC.
• Основание \( AC = 10 \) см.
• Боковая сторона \( AB = BC = 13 \) см.
• Высота BH, проведённая к основанию AC.

Найти: \( \sin \angle ABH \), \( \cos \angle ABH \), \( g \angle ABH \), \( ctg \angle ABH \).

Решение:

Высота BH в равнобедренном треугольнике является также медианой и биссектрисой. Это значит, что она делит основание AC пополам:

\[ AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (угол AHB = 90°). В нём:

• Гипотенуза AB = 13 см.
• Катет AH = 5 см.

Найдем длину высоты BH по теореме Пифагора:

\[ BH^2 = AB^2 - AH^2 \]

\[ BH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \]

\[ BH = \sqrt{144} = 12 \] см.

Теперь найдём тригонометрические функции угла ABH. Угол ABH — это угол между боковой стороной AB и высотой BH.

• Синус угла ABH (отношение противолежащего катета AH к гипотенузе AB):

\[ \sin \angle ABH = \frac{AH}{AB} = \frac{5}{13} \]

• Косинус угла ABH (отношение прилежащего катета BH к гипотенузе AB):

\[ \cos \angle ABH = \frac{BH}{AB} = \frac{12}{13} \]

• Тангенс угла ABH (отношение противолежащего катета AH к прилежащему катету BH):

\[ g \angle ABH = \frac{AH}{BH} = \frac{5}{12} \]

• Котангенс угла ABH (отношение прилежащего катета BH к противолежащему катету AH):

\[ ctg \angle ABH = \frac{BH}{AH} = \frac{12}{5} \]

Ответ: \( \sin \angle ABH = \frac{5}{13} \), \( \cos \angle ABH = \frac{12}{13} \), \( g \angle ABH = \frac{5}{12} \), \( ctg \angle ABH = \frac{12}{5} \).