5. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13 см и 15 см. Найдите расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных на эту прямую равна 4 см.

Решение:

Пусть \( h \) — расстояние от точки до прямой (высота), \( l_1 = 13 \) см и \( l_2 = 15 \) см — длины наклонных. Обозначим проекции наклонных на прямую как \( p_1 \) и \( p_2 \).

По условию, \( |p_1 - p_2| = 4 \) см.

Из теоремы Пифагора для каждой наклонной имеем:

\( l_1^2 = h^2 + p_1^2 \) => \( 13^2 = h^2 + p_1^2 \) => \( 169 = h^2 + p_1^2 \)

\( l_2^2 = h^2 + p_2^2 \) => \( 15^2 = h^2 + p_2^2 \) => \( 225 = h^2 + p_2^2 \)

Выразим \( p_1^2 \) и \( p_2^2 \):

\( p_1^2 = 169 - h^2 \)

\( p_2^2 = 225 - h^2 \)

Так как \( l_2 > l_1 \), то \( p_2 > p_1 \). Следовательно, \( p_2 - p_1 = 4 \) см, или \( p_2 = p_1 + 4 \).

Подставим это в уравнение для \( p_2^2 \):

\( (p_1 + 4)^2 = 225 - h^2 \)

\( p_1^2 + 8p_1 + 16 = 225 - h^2 \)

Подставим \( p_1^2 = 169 - h^2 \):

\( (169 - h^2) + 8p_1 + 16 = 225 - h^2 \)

\( 169 + 8p_1 + 16 = 225 \)

\( 185 + 8p_1 = 225 \)

\( 8p_1 = 225 - 185 = 40 \)

\( p_1 = \frac{40}{8} = 5 \) см.

Теперь найдем \( h \) из первого уравнения:

\( h^2 = 169 - p_1^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \).

\( h = \sqrt{144} = 12 \) см.

Ответ: Расстояние от точки до прямой равно 12 см.