6. Найдите CD.

Решение:

В \( \triangle ABC \) , \( \angle C = 90° \), \( AB = 20 \), \( \angle ABC = 150° \). Это невозможно, так как угол в прямоугольном треугольнике не может быть 150°.

Предположим, что \( \angle ABC = 150° \) — это внешний угол при вершине B.

Тогда внутренний \( \angle ABC = 180° - 150° = 30° \).

В \( \triangle ABC \) , \( \angle C = 90° \) , \( \angle ABC = 30° \). Следовательно, \( \angle BAC = 180° - 90° - 30° = 60° \).

По свойству катета, лежащего напротив угла в 30°, \( AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \) см.

CD — высота, опущенная на гипотенузу AB.

Площадь \( \triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot BC \).

Также площадь \( \triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot CD = 10 \cdot CD \).

Найдем BC по теореме Пифагора: \( BC^2 = AB^2 - AC^2 = 20^2 - 10^2 = 400 - 100 = 300 \).

\( BC = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \) см.

Площадь \( \triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10\sqrt{3} = 50\sqrt{3} \) кв. см.

Теперь найдем CD:

\( 10 \cdot CD = 50\sqrt{3} \).

\( CD = 5\sqrt{3} \) см.

Ответ: \( CD = 5\sqrt{3} \) см.