5) Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Задание 5. Задача на движение

Дано:

• Расстояние по течению: $$ S_{по} = 36 $$ км.
• Расстояние против течения: $$ S_{пр} = 36 $$ км.
• Общее время в пути: $$ T = 5 $$ часов.
• Скорость течения: $$ V_{теч} = 3 $$ км/ч.

Найти: скорость лодки в неподвижной воде $$ V_{л} $$.

Решение:

1. Пусть $$ V_{л} $$ - скорость лодки в неподвижной воде.
2. Скорость лодки по течению: $$ V_{по} = V_{л} + V_{теч} = V_{л} + 3 $$.
3. Скорость лодки против течения: $$ V_{пр} = V_{л} - V_{теч} = V_{л} - 3 $$.
4. Время в пути по течению: $$ T_{по} = \frac{S_{по}}{V_{по}} = \frac{36}{V_{л} + 3} $$.
5. Время в пути против течения: $$ T_{пр} = \frac{S_{пр}}{V_{пр}} = \frac{36}{V_{л} - 3} $$.
6. Общее время в пути: $$ T_{по} + T_{пр} = T $$.
7. Составляем уравнение: $$ \frac{36}{V_{л} + 3} + \frac{36}{V_{л} - 3} = 5 $$.
8. Приведем дроби к общему знаменателю $$ (V_{л} + 3)(V_{л} - 3) $$:
• $$ \frac{36(V_{л} - 3) + 36(V_{л} + 3)}{(V_{л} + 3)(V_{л} - 3)} = 5 $$
• $$ \frac{36V_{л} - 108 + 36V_{л} + 108}{V_{л}^2 - 9} = 5 $$
• $$ \frac{72V_{л}}{V_{л}^2 - 9} = 5 $$
9. Решаем полученное уравнение:
• $$ 72V_{л} = 5(V_{л}^2 - 9) $$
• $$ 72V_{л} = 5V_{л}^2 - 45 $$
• $$ 5V_{л}^2 - 72V_{л} - 45 = 0 $$
10. Найдем дискриминант:
• $$ D = (-72)^2 - 4 5 (-45) = 5184 + 900 = 6084 $$
• $$ = $$.
11. Найдем $$ V_{л} $$:
• $$ V_{л1} = \frac{72 + }{2 5} = \frac{72 + }{10} = \frac{150}{10} = 15 $$ (скорость больше скорости течения, подходит)
• $$ V_{л2} = \frac{72 - }{10} = \frac{72 - }{10} = \frac{-6}{10} = -0.6 $$ (скорость не может быть отрицательной)

Ответ: 15 км/ч.