421. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если: а) её основания равны 5 и 15, а боковые стороны равны 13; б) её основания равны 2 и 14, а боковые стороны равны 10; в) её основания равны 7 и 11, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°; г) её основания равны 6 и 20, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 135°.

Решение:

Площадь трапеции \( S = 0.5 (a+b) h \). Для нахождения высоты \( h \) используем теорему Пифагора или тригонометрию.

а) \( a = 5, b = 15, c = 13 \). Разность оснований \( b-a = 10 \). Отложим от меньшего основания отрезок \( x = (15-5)/2 = 5 \) на большем основании. В прямоугольном треугольнике: \( h^2 + 5^2 = 13^2 \). \( h^2 + 25 = 169 \). \( h^2 = 144 \). \( h = 12 \). \( S = 0.5 (5+15) 12 = 0.5 20 12 = 120 \).

б) \( a = 2, b = 14, c = 10 \). \( x = (14-2)/2 = 6 \). \( h^2 + 6^2 = 10^2 \). \( h^2 + 36 = 100 \). \( h^2 = 64 \). \( h = 8 \). \( S = 0.5 (2+14) 8 = 0.5 16 8 = 64 \).

в) \( a = 7, b = 11, in = 45^{\circ} \). \( x = (11-7)/2 = 2 \). \( h = x tan = 2 tan 45^{\circ} = 2 1 = 2 \). \( S = 0.5 (7+11) 2 = 0.5 18 2 = 18 \).

г) \( a = 6, b = 20, in = 135^{\circ} \). \( x = (20-6)/2 = 7 \). Угол между боковой стороной и большим основанием равен \( 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \). \( h = x tan 45^{\circ} = 7 1 = 7 \). \( S = 0.5 (6+20) 7 = 0.5 26 7 = 91 \).

Ответ: а) 120; б) 64; в) 18; г) 91.