306. Докажите, что значение выражения не зависит от а. \((\frac{5}{a+1} - \frac{3}{a-1} + \frac{6}{a^2-1}) \cdot \frac{a+1}{2}\)

Решение:

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от \(a\), нужно упростить его и показать, что переменная \(a\) исчезнет в результате преобразований.

Сначала приведём выражение в скобках к общему знаменателю. Общий знаменатель для \(a+1\), \(a-1\) и \(a^2-1\) равен \(a^2-1 = (a-1)(a+1)\).

\(\frac{5}{a+1} - \frac{3}{a-1} + \frac{6}{a^2-1} = \frac{5(a-1)}{(a+1)(a-1)} - \frac{3(a+1)}{(a-1)(a+1)} + \frac{6}{a^2-1}\)

\[= \frac{5a - 5 - (3a + 3) + 6}{a^2-1} = \frac{5a - 5 - 3a - 3 + 6}{a^2-1} = \frac{2a - 2}{a^2-1}\]

Теперь умножим полученное выражение на \(\frac{a+1}{2}\):

\(\frac{2a - 2}{a^2-1} \cdot \frac{a+1}{2}\)

Вынесем общий множитель 2 из числителя первой дроби:

\(\frac{2(a - 1)}{a^2-1} \cdot \frac{a+1}{2}\)

Заменим \(a^2-1\) на \((a-1)(a+1)\):

\(\frac{2(a - 1)}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{a+1}{2}\)

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

\(\frac{2 \cancel{(a - 1)}}{\cancel{(a-1)}\cancel{(a+1)}} \cdot \frac{\cancel{a+1}}{2} = \frac{2}{2} = 1\)

Значение выражения равно 1, что не зависит от \(a\).

Ответ: Значение выражения равно 1.