300. Представьте в виде одночлена: a) \(\sqrt{b^6c^8}\), где \(b>0\); б) \(\sqrt{16x^8y^{12}}\); в) \(\sqrt{0,25p^4y^8}\), где \(p>0\); r) \(ab\sqrt{a^2b^2}\); e) \(3b^8\sqrt{a^{12}b^8}\), где \(b<0\).

Решение:

Чтобы представить выражение в виде одночлена, нужно внести множители под знак корня или извлечь корень.

а) \(\sqrt{b^6c^8}\), где \(b>0\):

\(\sqrt{b^6c^8} = \sqrt{(b^3c^4)^2} = |b^3c^4|\)

Так как \(b>0\), то \(b^3>0\). \(c^4\) всегда больше или равно 0. Следовательно, \(|b^3c^4| = b^3c^4\).

б) \(\sqrt{16x^8y^{12}}\):

\(\sqrt{16x^8y^{12}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^8} \cdot \sqrt{y^{12}} = 4 \cdot x^{8/2} \cdot y^{12/2} = 4x^4y^6\)

в) \(\sqrt{0,25p^4y^8}\), где \(p>0\):

\(\sqrt{0,25p^4y^8} = \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{p^4} \cdot \sqrt{y^8} = 0,5 \cdot p^{4/2} \cdot y^{8/2} = 0,5p^2y^4\)

Так как \(p>0\), то \(p^2>0\). \(y^8\) всегда больше или равно 0.

г) \(ab\sqrt{a^2b^2}\):

\(ab\sqrt{a^2b^2} = ab \cdot |ab|\)

Если \(a>0\) и \(b>0\), то \(ab\sqrt{a^2b^2} = ab \cdot ab = a^2b^2\).

Если \(a<0\) и \(b<0\), то \(ab>0\) и \(ab\sqrt{a^2b^2} = ab \cdot (-ab) = -a^2b^2\).

Если \(a>0\) и \(b<0\) (или наоборот), то \(ab<0\) и \(ab\sqrt{a^2b^2} = ab \cdot (ab) = a^2b^2\). Однако, в условии не указаны знаки \(a\) и \(b\), поэтому будем считать, что \(a,b>0\) по умолчанию, или же, \(ab\sqrt{a^2b^2} = ab \cdot |ab| = |a^2b^2| = a^2b^2\), так как \(a^2b^2\) всегда неотрицательно.

е) \(3b^8\sqrt{a^{12}b^8}\), где \(b<0\):

\(3b^8\sqrt{a^{12}b^8} = 3b^8 \cdot |a^6b^4|\)

Так как \(b^8\) всегда неотрицательно, \(a^6\) всегда неотрицательно, \(b^4\) всегда неотрицательно, то \(|a^6b^4| = a^6b^4\).

\(3b^8 \cdot a^6b^4 = 3a^6b^{12}\)

Ответ: а) \(b^3c^4\); б) \(4x^4y^6\); в) \(0,5p^2y^4\); г) \(a^2b^2\); е) \(3a^6b^{12}\).