301. Преобразуйте выражение: a) \(\sqrt{\frac{p^8}{b^4}}\), где \(b\neq0\); б) \(\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}}\), где \(b>0\); в) \(2y^2\sqrt{\frac{4x^8}{y^6}}\), где \(x>0, y>0\); r) \(3c^2\sqrt{\frac{c^8}{9d^2}}\), где \(c<0, d>0\).

Решение:

Для преобразования выражений будем использовать свойства корней и степеней.

а) \(\sqrt{\frac{p^8}{b^4}}\), где \(b\neq0\):

\(\sqrt{\frac{p^8}{b^4}} = \frac{\sqrt{p^8}}{\sqrt{b^4}} = \frac{p^{8/2}}{b^{4/2}} = \frac{p^4}{b^2}\)

Так как \(b^2\) всегда положительно, а \(p^4\) всегда неотрицательно, знак модуля не требуется.

б) \(\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}}\), где \(b>0\):

\(\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}} = \frac{\sqrt{16a^{12}}}{\sqrt{b^{10}}} = \frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{a^{12}}}{\sqrt{b^{10}}} = \frac{4a^{12/2}}{b^{10/2}} = \frac{4a^6}{b^5}\)

Так как \(b>0\), то \(b^5>0\).

в) \(2y^2\sqrt{\frac{4x^8}{y^6}}\), где \(x>0, y>0\):

\(2y^2\sqrt{\frac{4x^8}{y^6}} = 2y^2 \cdot \frac{\sqrt{4x^8}}{\sqrt{y^6}} = 2y^2 \cdot \frac{\sqrt{4}\sqrt{x^8}}{\sqrt{y^6}} = 2y^2 \cdot \frac{2x^{8/2}}{y^{6/2}} = 2y^2 \cdot \frac{2x^4}{y^3}\)

\(= \frac{4y^2x^4}{y^3} = \frac{4x^4}{y}\)

Так как \(y>0\), то \(y^3>0\).

г) \(3c^2\sqrt{\frac{c^8}{9d^2}}\), где \(c<0, d>0\):

\(3c^2\sqrt{\frac{c^8}{9d^2}} = 3c^2 \cdot \frac{\sqrt{c^8}}{\sqrt{9d^2}} = 3c^2 \cdot \frac{c^{8/2}}{\sqrt{9}\sqrt{d^2}} = 3c^2 \cdot \frac{c^4}{3|d|}\)

Так как \(d>0\), то \(|d|=d\).

\(= 3c^2 \cdot \frac{c^4}{3d} = \frac{c^2c^4}{d} = \frac{c^6}{d}\)

Ответ: а) \(\frac{p^4}{b^2}\); б) \(\frac{4a^6}{b^5}\); в) \(\frac{4x^4}{y}\); г) \(\frac{c^6}{d}\).