302. Упростите выражение: a) $\sqrt{25x^6y^{10}}$, где $x>0, y>0$; б) $3bc\sqrt{9b^2c^4}$, где $b>0$; в) $2a\sqrt{\frac{4a^2}{b^4}}$, где $a>0$; r) $5xy\sqrt{\frac{x^2}{25y^4}}$, где $x>0$.

Question

$Фото задания: 302. Упростите выражение: a) $\sqrt{25x^6y^{10}}$, где $x>0, y>0$; б) $3bc\sqrt{9b^2c^4}$, где $b>0$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

Для упрощения выражений будем использовать свойства арифметического квадратного корня.

$\sqrt{25x^6y^{10}} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{x^6} \cdot \sqrt{y^{10}} = 5 \cdot x^{6/2} \cdot y^{10/2} = 5x^3y^5$

Так как $x>0$ и $y>0$, то $x^3>0$ и $y^5>0$.

$3bc\sqrt{9b^2c^4} = 3bc \cdot (\sqrt{9} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{c^4}) = 3bc \cdot (3 \cdot |b| \cdot c^2)$

Так как $b>0$, то $|b|=b$.

$= 3bc \cdot (3 \cdot b \cdot c^2) = 9b^2c^3$

$2a\sqrt{\frac{4a^2}{b^4}} = 2a \cdot \frac{\sqrt{4a^2}}{\sqrt{b^4}} = 2a \cdot \frac{\sqrt{4}\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^4}} = 2a \cdot \frac{2|a|}{b^2}$

Так как $a>0$, то $|a|=a$.

$= 2a \cdot \frac{2a}{b^2} = \frac{4a^2}{b^2}$

$5xy\sqrt{\frac{x^2}{25y^4}} = 5xy \cdot \frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{25y^4}} = 5xy \cdot \frac{|x|}{\sqrt{25}\sqrt{y^4}} = 5xy \cdot \frac{|x|}{5y^2}$

Так как $x>0$, то $|x|=x$.

$= 5xy \cdot \frac{x}{5y^2} = \frac{5x^2y}{5y^2} = \frac{x^2}{y}$

Ответ: а) $5x^3y^5$; б) $9b^2c^3$; в) $\frac{4a^2}{b^2}$; г) $\frac{x^2}{y}$.

302. Упростите выражение: a) \(\sqrt{25x^6y^{10}}\), где \(x>0, y>0\); б) \(3bc\sqrt{9b^2c^4}\), где \(b>0\); в) \(2a\sqrt{\frac{4a^2}{b^4}}\), где \(a>0\); r) \(5xy\sqrt{\frac{x^2}{25y^4}}\), где \(x>0\).