3) Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4000 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1600 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 7 метров?

Решение:

Стоимость работ образует арифметическую прогрессию, где первый член \( a_1 = 4000 \) (стоимость первого метра) и разность \( d = 1600 \) (увеличение стоимости за каждый следующий метр).

Нужно найти сумму 7 первых членов прогрессии \( S_7 \), то есть общую стоимость работ.

Сначала найдём стоимость 7-го метра: \( a_7 = a_1 + (7-1)d = 4000 + 6 \cdot 1600 = 4000 + 9600 = 13600 \) рублей.

Теперь найдём сумму 7 членов по формуле: \( S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} \).

\( S_7 = \frac{(4000 + 13600) \cdot 7}{2} = \frac{17600 \cdot 7}{2} = 8800 \cdot 7 = 61600 \) рублей.

Ответ: 61600