24. Упростите выражение (x+2√x)/(√x-2) : (√x/(√x-2) - (x-12)/(x-4) - 4/(x+2√x))

Решение:

Сначала упростим выражение во вторых скобках:

\( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} - \frac{x-12}{x-4} - \frac{4}{x+2\sqrt{x}} \)

Заметим, что \( x-4 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2) \) и \( x+2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+2) \).

Приведём к общему знаменателю \( \sqrt{x}(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2) = \sqrt{x}(x-4) \).

\( \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)} - \frac{(x-12)\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\sqrt{x}} - \frac{4(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)} \)

\( = \frac{x(\sqrt{x}+2) - (x-12)\sqrt{x} - 4(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}(x-4)} \)

\( = \frac{x\sqrt{x}+2x - x\sqrt{x} + 12\sqrt{x} - 4\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x}(x-4)} \)

\( = \frac{2x + 8\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x}(x-4)} = \frac{2(x + 4\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x}(x-4)} \)

\( = \frac{2(\sqrt{x}+2)^2}{\sqrt{x}(x-4)} \).

Теперь выполним деление первого выражения на полученное:

\( \frac{x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} : \frac{2(\sqrt{x}+2)^2}{\sqrt{x}(x-4)} \)

\( = \frac{x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \cdot \frac{\sqrt{x}(x-4)}{2(\sqrt{x}+2)^2} \)

Заменим \( x+2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+2) \) и \( x-4 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2) \).

\( = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}-2} \cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{2(\sqrt{x}+2)^2} \)

Сократим общие множители:

\( = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot (\sqrt{x}+2)}{2(\sqrt{x}+2)} = \frac{x(\sqrt{x}+2)}{2(\sqrt{x}+2)} = \frac{x}{2} \).

Ответ: \( \frac{x}{2} \)