18. Вычислите (4-√3)·√19+8√3

Решение:

Предположим, что задание выглядит как \( (4-\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{19}+8\sqrt{3}) \).

Раскроем скобки:

\( (4-\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{19}+8\sqrt{3}) = 4(\sqrt{19}+8\sqrt{3}) - \sqrt{3}(\sqrt{19}+8\sqrt{3}) \)

\( = 4\sqrt{19} + 32\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{19} - 8(\sqrt{3})^2 \)

\( = 4\sqrt{19} + 32\sqrt{3} - \sqrt{57} - 8 \cdot 3 \)

\( = 4\sqrt{19} + 32\sqrt{3} - \sqrt{57} - 24 \)

Если же имелось в виду \( (4-\sqrt{3}) \cdot \sqrt{19+8\sqrt{3}} \), то сначала упростим \( \sqrt{19+8\sqrt{3}} \).

\( \sqrt{19+8\sqrt{3}} = \sqrt{19+2\sqrt{16 \cdot 3}} = \sqrt{19+2\sqrt{48}} \).

Ищем два числа, сумма которых равна 19, а произведение — 48. Это числа 16 и 3.

\( \sqrt{19+2\sqrt{48}} = \sqrt{16} + \sqrt{3} = 4 + \sqrt{3} \).

Тогда выражение принимает вид:

\( (4-\sqrt{3}) \cdot (4+\sqrt{3}) \).

Используем формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):

\( (4-\sqrt{3})(4+\sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 16 - 3 = 13 \).

Ответ: 13 (при предположении, что выражение было \( (4-\sqrt{3}) \cdot \sqrt{19+8\sqrt{3}} \))