22) (x - 1)² = 2x² - 6x – 31;

Задание 22

Уравнение: \( (x - 1)^2 = 2x^2 - 6x – 31 \)

Решение:

1. Раскроем скобки в левой части по формуле \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \): \( x^2 - 2x + 1 = 2x^2 - 6x - 31 \)
2. Перенесем все члены в правую часть: \( 2x^2 - x^2 - 6x + 2x - 31 - 1 = 0 \)
3. Приведем подобные члены: \( x^2 - 4x - 32 = 0 \)
4. Используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \)
5. \( a = 1, b = -4, c = -32 \)
6. Найдем дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 \)
7. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
8. Найдем корни по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

• \( x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
• \( x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Ответ: 8; -4.