20 Решите уравнение x(x²+2x+1) = 2(x + 1).

• Дано уравнение:
• \[x(x^2 + 2x + 1) = 2(x + 1)\]
• Заметим, что выражение в скобках слева является полным квадратом: x² + 2x + 1 = (x + 1)².
• Подставим это в уравнение:
• \[x(x + 1)^2 = 2(x + 1)\]
• Перенесем все члены в одну сторону:
• \[x(x + 1)^2 - 2(x + 1) = 0\]
• Вынесем общий множитель (x + 1) за скобки:
• \[(x + 1)[x(x + 1) - 2] = 0\]
• Теперь у нас есть произведение двух множителей, равное нулю. Это значит, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.
• Случай 1:
• \[x + 1 = 0\]
• \[x = -1\]
• Случай 2:
• \[x(x + 1) - 2 = 0\]
• Раскроем скобки:
• \[x^2 + x - 2 = 0\]
• Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта или теоремы Виета.
• По теореме Виета: сумма корней равна -1, произведение корней равно -2.
• Подбираем числа: 2 и -1. (2 + (-1) = 1, 2 * (-1) = -2). Кажется, я ошибся с суммой. Сумма корней равна -b/a, т.е. -1/1 = -1. Произведение корней равно c/a, т.е. -2/1 = -2.
• Значит, корни: x₁ = 1, x₂ = -2.
• Проверим:
• Если x = 1: 1(1+1)² = 1(2)² = 4. 2(1+1) = 2(2) = 4. Верно.
• Если x = -2: -2(-2+1)² = -2(-1)² = -2(1) = -2. 2(-2+1) = 2(-1) = -2. Верно.
• Таким образом, корни уравнения: x = -1, x = 1, x = -2.

Ответ: -2; -1; 1