2. b) Найдите значение выражения tg (8π/3)

Решение:

Чтобы найти значение \( \text{tg} \frac{8\pi}{3} \), приведём аргумент к более простому виду, выделив целое число полных оборотов ( \( 2\pi \) ).

\[ \frac{8\pi}{3} = \frac{6\pi + 2\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3} \]

Так как функция тангенса периодична с периодом \( \pi \) (и, соответственно, \( 2\pi \)), то \( \text{tg}(2\pi + \alpha) = \text{tg} \alpha \).

\[ \text{tg} \frac{8\pi}{3} = \text{tg} \left( 2\pi + \frac{2\pi}{3} \right) = \text{tg} \frac{2\pi}{3} \]

Угол \( \frac{2\pi}{3} \) находится во второй четверти. Его можно представить как \( \pi - \frac{\pi}{3} \).

Используем формулу приведения: \( \text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg} \alpha \).

\[ \text{tg} \frac{2\pi}{3} = \text{tg} \left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) = -\text{tg} \frac{\pi}{3} \]

Значение \( \text{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \).

Следовательно, \( \text{tg} \frac{8\pi}{3} = -\sqrt{3} \).

Ответ: \( -\sqrt{3} \).