2. a) Найдите значение выражения sin (13π/4)

Решение:

Чтобы найти значение \( \sin \frac{13\pi}{4} \), приведём аргумент к более простому виду, выделив целое число полных оборотов ( \( 2\pi \) ).

\[ \frac{13\pi}{4} = \frac{8\pi + 5\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = 2\pi + \frac{5\pi}{4} \]

Так как функция синуса периодична с периодом \( 2\pi \), то \( \sin(2\pi + \alpha) = \sin \alpha \).

\[ \sin \frac{13\pi}{4} = \sin \left( 2\pi + \frac{5\pi}{4} \right) = \sin \frac{5\pi}{4} \]

Угол \( \frac{5\pi}{4} \) находится в третьей четверти. Его можно представить как \( \pi + \frac{\pi}{4} \).

Используем формулу приведения: \( \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha \).

\[ \sin \frac{5\pi}{4} = \sin \left( \pi + \frac{\pi}{4} \right) = -\sin \frac{\pi}{4} \]

Значение \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Следовательно, \( \sin \frac{13\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Ответ: \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \).