2. b) Найдите значение выражения cos² (8π/3) - sin² (8π/3)

Решение:

Данное выражение имеет вид \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \), которое является формулой косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha \).

В данном случае \( \alpha = \frac{8\pi}{3} \).

Тогда \( 2\alpha = 2 \cdot \frac{8\pi}{3} = \frac{16\pi}{3} \).

Таким образом, выражение равно \( \cos \left( \frac{16\pi}{3} \right) \).

Приведём аргумент к более простому виду, выделив целое число полных оборотов ( \( 2\pi \) ).

\[ \frac{16\pi}{3} = \frac{12\pi + 4\pi}{3} = \frac{12\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = 4\pi + \frac{4\pi}{3} \]

Так как функция косинуса периодична с периодом \( 2\pi \), то \( \cos(4\pi + \alpha) = \cos \alpha \).

\[ \cos \frac{16\pi}{3} = \cos \left( 4\pi + \frac{4\pi}{3} \right) = \cos \frac{4\pi}{3} \]

Угол \( \frac{4\pi}{3} \) находится в третьей четверти. Его можно представить как \( \pi + \frac{\pi}{3} \).

Используем формулу приведения: \( \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha \).

\[ \cos \frac{4\pi}{3} = \cos \left( \pi + \frac{\pi}{3} \right) = -\cos \frac{\pi}{3} \]

Значение \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \).

Следовательно, \( \cos^2 \left( \frac{8\pi}{3} \right) - \sin^2 \left( \frac{8\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} \).

Ответ: \( -\frac{1}{2} \).