16. Текстовая задача. Турист проехал 60км на автобусе и 60км на поезде. На поезд он затратил на 1 час меньше времени. Скорость поезда на 10 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорость автобуса.

Решение:

Обозначим:

• \( v_а \) — скорость автобуса (км/ч)
• \( t_а \) — время в пути на автобусе (ч)
• \( v_п \) — скорость поезда (км/ч)
• \( t_п \) — время в пути на поезде (ч)

Из условия задачи:

• Расстояние на автобусе \( S_а = 60 \) км.
• Расстояние на поезде \( S_п = 60 \) км.
• \( t_а - t_п = 1 \) ч (время в пути на поезде на 1 час меньше).
• \( v_п = v_а + 10 \) км/ч (скорость поезда на 10 км/ч больше скорости автобуса).

Вспомним формулу \( S = v × t \), откуда \( t = \frac{S}{v} \).

1. Выразим время в пути для автобуса: \( t_а = \frac{60}{v_а} \).
2. Выразим время в пути для поезда: \( t_п = \frac{60}{v_п} = \frac{60}{v_а + 10} \).
3. Подставим выражения для \( t_а \) и \( t_п \) в уравнение \( t_а - t_п = 1 \):

\( \frac{60}{v_а} - \frac{60}{v_а + 10} = 1 \)

Решим полученное уравнение:

4. Приведем дроби к общему знаменателю \( v_а(v_а + 10) \):

\( \frac{60(v_а + 10) - 60v_а}{v_а(v_а + 10)} = 1 \)

\( \frac{60v_а + 600 - 60v_а}{v_а^2 + 10v_а} = 1 \)

\( \frac{600}{v_а^2 + 10v_а} = 1 \)

\( v_а^2 + 10v_а = 600 \)

\( v_а^2 + 10v_а - 600 = 0 \)

5. Решим квадратное уравнение относительно \( v_а \) (можно использовать теорему Виета или дискриминант).
6. Дискриминант \( D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 100 + 2400 = 2500 \).
7. \( \sqrt{D} = 50 \).
8. Корни уравнения:

\( v_{а1} = \frac{-10 + 50}{2} = \frac{40}{2} = 20 \)

\( v_{а2} = \frac{-10 - 50}{2} = \frac{-60}{2} = -30 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, исключаем \( v_{а2} \).

Следовательно, скорость автобуса \( v_а = 20 \) км/ч.

Проверка:

• Скорость автобуса = 20 км/ч. Время в пути = 60/20 = 3 часа.
• Скорость поезда = 20 + 10 = 30 км/ч. Время в пути = 60/30 = 2 часа.
• Разница во времени = 3 - 2 = 1 час. Условие выполняется.

Ответ: 20 км/ч.