16. Текстовая задача. Турист проехал 60км на автобусе и 60км на поезде. На поезд он затратил на 1 час меньше времени. Скорость поезда на 10 км/ч больше скорости автобуса. Найдите время, которое он затратил на поезд.

Решение:

Обозначим:

• v_а — скорость автобуса (км/ч)
• t_а — время в пути на автобусе (ч)
• v_п — скорость поезда (км/ч)
• t_п — время в пути на поезде (ч)

Известно:

• Расстояние на автобусе = 60 км
• Расстояние на поезде = 60 км
• t_п = t_а - 1
• v_п = v_а + 10

Из формулы расстояния S = v * t, выразим время:

$$ t = \frac{S}{v} $$

Для автобуса:

$$ t_а = \frac{60}{v_а} $$

Для поезда:

$$ t_п = \frac{60}{v_п} = \frac{60}{v_а + 10} $$

Подставим выражения для времени в уравнение t_п = t_а - 1:

$$ \frac{60}{v_а + 10} = \frac{60}{v_а} - 1 $$

Приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{60}{v_а + 10} = \frac{60 - v_а}{v_а} $$

Умножим крест-накрест:

$$ 60 v_а = (60 - v_а)(v_а + 10) $$

$$ 60 v_а = 60 v_а + 600 - v_а^2 - 10 v_а $$

$$ 0 = 600 - v_а^2 - 10 v_а $$

$$ v_а^2 + 10 v_а - 600 = 0 $$

Решим квадратное уравнение для v_а:

Дискриминант D = b² - 4ac = 10² - 4 * 1 * (-600) = 100 + 2400 = 2500.

$$ \sqrt{D} = \sqrt{2500} = 50 $$

$$ v_а = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$

$$ v_а = \frac{-10 \pm 50}{2} $$

Два возможных значения для v_а:

$$ v_{а1} = \frac{-10 + 50}{2} = \frac{40}{2} = 20 $$

$$ v_{а2} = \frac{-10 - 50}{2} = \frac{-60}{2} = -30 $$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому v_а = 20 км/ч.

Теперь найдем скорость поезда:

$$ v_п = v_а + 10 = 20 + 10 = 30 $$

Наконец, найдем время, которое турист затратил на поезд:

$$ t_п = \frac{60}{v_п} = \frac{60}{30} = 2 $$

Ответ: 2 часа