15. Неравенство. Решите неравенство методом интервалов: (x²-9)/(x-2) ≤ 0

Решение:

Для решения неравенства методом интервалов, найдем корни числителя и знаменателя.

Числитель:

x² - 9 = 0

(x - 3)(x + 3) = 0

Корни: x₁ = 3, x₂ = -3.

Знаменатель:

x - 2 ≠ 0

Корень: x₃ = 2 (знаменатель не может быть равен нулю).

Теперь нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражений на интервалах:

$$ \frac{(x-3)(x+3)}{x-2} \le 0 $$

Числовая ось разбита на интервалы: (-∞; -3], [-3; 2), (2; 3], [3; +∞). Обратите внимание, что x=3 включается в решение (знак ≤), а x=2 — нет (знаменатель).

Рассмотрим знаки на каждом интервале:

• Интервал (-∞; -3]: Возьмем x = -4. (-)(-)/(-) = (-)/(-) = (+).
• Интервал [-3; 2): Возьмем x = 0. (-)(+)/(-) = (-)/(-) = (+). Ошибка в рассуждении. Проверим снова: x=0. (0-3)(0+3)/(0-2) = (-3)(3)/(-2) = -9/-2 = +4.5. Неверно. Попробуем взять x = -1: (-1-3)(-1+3)/(-1-2) = (-4)(2)/(-3) = -8/-3 = +8/3. Ошибка в рассуждении. Давайте проверять знаки множителей.

Повторная проверка знаков:

• Интервал (-∞; -3]: Выберем x = -4. (x-3) - (-), (x+3) - (-), (x-2) - (-). Итого: (-)*(-)/(-) = (+)/(-) = (-).
• Интервал [-3; 2): Выберем x = 0. (x-3) - (-), (x+3) - (+), (x-2) - (-). Итого: (-)*(+)/(-) = (-)/(-) = (+).
• Интервал (2; 3]: Выберем x = 2.5. (x-3) - (-), (x+3) - (+), (x-2) - (+). Итого: (-)*(+)/(+) = (-)/(+) = (-).
• Интервал [3; +∞): Выберем x = 4. (x-3) - (+), (x+3) - (+), (x-2) - (+). Итого: (+)*(+)/(+) = (+)/(+) = (+).

Нам нужно найти интервалы, где выражение ≤ 0. Это интервалы, где знак «-».

(-∞; -3] и (2; 3].

Ответ: (-∞; -3] ∪ (2; 3]