16 Хорда CD перпендикулярна диаметру АВ окружности. Найдите угол CBD, если угол САВ равен 27°. Ответ дайте в градусах. Ответ:

Краткое пояснение:

Рассмотрим треугольник \( ABC \). Так как \( AB \) — диаметр, угол \( ACB \) вписан в окружность и опирается на диаметр, значит, он прямой, равен \( 90^{\circ} \). Угол \( CBA \) и угол \( CAB \) (равный \( 27^{\circ} \)) являются острыми углами прямоугольного треугольника \( ABC \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В прямоугольном треугольнике \( ABC \) сумма острых углов равна \( 90^{\circ} \).
   \( CBA + CAB = 90^{\circ} \)
   \( CBA + 27^{\circ} = 90^{\circ} \)
   \( CBA = 90^{\circ} - 27^{\circ} = 63^{\circ} \).
2. Шаг 2: Хорда \( CD \) перпендикулярна диаметру \( AB \). Это означает, что точка пересечения делит дугу \( CB \) пополам. Следовательно, дуга \( CD \) равна дуге \( DB \).
3. Шаг 3: Угол \( CBD \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( CD \). Угол \( CAD \) также опирается на дугу \( CD \). Следовательно, \( CBD = CAD \).
4. Шаг 4: Угол \( CAB \) равен \( 27^{\circ} \). Угол \( CBA \) равен \( 63^{\circ} \).
5. Шаг 5: Рассмотрим треугольник \( OCD \) (где O — центр окружности). Он является равнобедренным, так как \( OC=OD \) (радиусы).
   Поскольку \( CD ⊥ AB \), то \( AOC = BOC \) (дуги равны).
6. Шаг 6: Угол \( CBA \) (или \( OBC \)) равен \( 63^{\circ} \). В треугольнике \( OBC \) \( OC=OB \), поэтому он равнобедренный. Угол \( OCB = OBC = 63^{\circ} \).
7. Шаг 7: Угол \( CBD \) и угол \( CBA \) связаны. Обратите внимание на рисунок: \( CBD \) — это часть угла \( CBA \).
8. Шаг 8: Более простой путь: Угол \( CAD \) равен углу \( CBD \) (опираются на одну дугу \( CD \)).
   Рассмотрим треугольник \( AOC \). \( OA=OC \) (радиусы). Угол \( OAC = OCA = 27^{\circ} \).
9. Шаг 9: Угол \( OCD \) равен \( 90^{\circ} - OCA = 90^{\circ} - 27^{\circ} = 63^{\circ} \).
10. Шаг 10: В равнобедренном треугольнике \( OCD \), угол \( OCD = ODC = 63^{\circ} \).
11. Шаг 11: Угол \( CBD \) равен \( 90^{\circ} - OBC \). Из шага 1, \( CBA = 63^{\circ} \).
12. Шаг 12: Рассмотрим треугольник \( BCD \). Угол \( BDC = 90^{\circ} \) (опирается на диаметр \( BC \)).
    Нет, \( BC \) не обязательно диаметр.
13. Шаг 13: Вернемся к тому, что \( CD ⊥ AB \). Диаметр \( AB \) перпендикулярен хорде \( CD \). Это значит, что диаметр делит хорду пополам и дугу \( CD \) пополам.
    Дуга \( AC \) = Дуга \( AD \) ? Нет.
    Дуга \( CB \) = Дуга \( DB \) ? Нет.
14. Шаг 14: Угол \( CBD \) опирается на дугу \( CD \). Угол \( CAD \) опирается на дугу \( CD \). Следовательно, \( CBD = CAD \).
    Нам нужно найти \( CAD \).
15. Шаг 15: В прямоугольном треугольнике \( ABC \) (угол \( C = 90^{\circ} \)), угол \( CBA = 63^{\circ} \) и угол \( CAB = 27^{\circ} \).
16. Шаг 16: Рассмотрим треугольник \( AOC \). \( OA = OC \) (радиусы). Угол \( OAC = 27^{\circ} \). Следовательно, угол \( OCA = 27^{\circ} \).
17. Шаг 17: Угол \( COD \) = \( 180^{\circ} - (OCA + OCA) \) ? Нет.
18. Шаг 18: Угол \( AOC \) = \( 180^{\circ} - (OAC + OCA) = 180^{\circ} - (27^{\circ} + 27^{\circ}) = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} \).
19. Шаг 19: Угол \( BOC \) = \( 180^{\circ} - AOC = 180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ} \).
20. Шаг 20: Угол \( CBD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( CD \).
    Центральный угол, опирающийся на дугу \( CD \) - это угол \( COD \).
    Так как \( CD ⊥ AB \), то \( AOC \) и \( BOC \) не связаны напрямую с \( COD \).
21. Шаг 21: Угол \( CAD \) опирается на дугу \( CD \). Угол \( CBD \) опирается на дугу \( CD \). Следовательно, \( CBD = CAD \).
22. Шаг 22: Угол \( CAB \) = \( 27^{\circ} \).
    Угол \( CBA \) = \( 63^{\circ} \).
23. Шаг 23: Рассмотрим треугольник \( ABC \). Угол \( ACB = 90^{\circ} \).
24. Шаг 24: Угол \( CDB = 90^{\circ} \) (опирается на диаметр \( CB \)). Это неверно.
25. Шаг 25: Угол \( ADC = 90^{\circ} \) (опирается на диаметр \( AC \)). Это неверно.
26. Шаг 26: Угол \( ADB = 90^{\circ} \) (опирается на диаметр \( AB \)).
27. Шаг 27: В треугольнике \( ADB \), угол \( ABD = 63^{\circ} \) (это тот же угол, что и \( CBA \)).
    Угол \( DAB = 27^{\circ} \) (это тот же угол, что и \( CAB \)).
28. Шаг 28: Угол \( ADB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 63^{\circ} = 27^{\circ} \).
29. Шаг 29: Угол \( BDC \) = \( ADB = 27^{\circ} \) ? Нет, \( D \) находится на окружности.
30. Шаг 30: Так как \( AB ⊥ CD \), то точка пересечения является серединой \( CD \) и середина дуги \( CD \).
    Дуга \( CA = Дуга \) \( DA \) ? Нет.
    Дуга \( CB = Дуга \) \( DB \) ? Нет.
31. Шаг 31: Пусть \( O \) — центр окружности. \( OA = OB = OC = OD \) (радиусы).
    В \( ABC \): \( CBA = 63^{\circ} \), \( CAB = 27^{\circ} \), \( ACB = 90^{\circ} \).
32. Шаг 32: Угол \( CBD \) опирается на дугу \( CD \). Угол \( CAD \) опирается на дугу \( CD \). Значит, \( CBD = CAD \).
33. Шаг 33: Рассмотрим \( ABC \). Угол \( CBA = 63^{\circ} \).
    Угол \( CAB = 27^{\circ} \).
34. Шаг 34: В \( AOC \): \( OA=OC \). \( OAC = OCA = 27^{\circ} \).
35. Шаг 35: Угол \( BOC = 180^{\circ} - ( OBC + OCB ) \).
    \( OBC = 63^{\circ} \).
    \( OCB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 63^{\circ} = 27^{\circ} \).
36. Шаг 36: Откуда \( OCB=27^{\circ} \)? В \( ABC \), \( ACB = 90^{\circ} \). \( OCA = 27^{\circ} \). Следовательно, \( OCB = ACB - OCA = 90^{\circ} - 27^{\circ} = 63^{\circ} \).
37. Шаг 37: Значит, в \( OBC \), \( OBC = 63^{\circ} \), \( OCB = 63^{\circ} \). Это значит, что \( OB=OC \), что верно (радиусы).
38. Шаг 38: Угол \( BOC = 180^{\circ} - (63^{\circ} + 63^{\circ}) = 180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ} \).
39. Шаг 39: Угол \( AOC = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} \).
40. Шаг 40: Так как \( AB ⊥ CD \), то дуга \( AC \) = дуга \( AD \) и дуга \( BC \) = дуга \( BD \).
    Угол \( AOC \) = \( 126^{\circ} \) => дуга \( AC = 126^{\circ} \).
    Угол \( BOC \) = \( 54^{\circ} \) => дуга \( BC = 54^{\circ} \).
41. Шаг 41: Дуга \( BD \) = дуга \( BC = 54^{\circ} \).
42. Шаг 42: Угол \( CBD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( CD \).
    Дуга \( CD \) = дуга \( CA \) + дуга \( AD \) ? Нет.
43. Шаг 43: Угол \( CBD \) опирается на дугу \( CD \).
    Угол \( CAD \) опирается на дугу \( CD \).
    \( CBD = CAD \).
44. Шаг 44: Угол \( CDB = 90^{\circ} \) (опирается на диаметр \( CB \)). Это неверно.
45. Шаг 45: Угол \( ADC = 90^{\circ} \) (опирается на диаметр \( AC \)). Это неверно.
46. Шаг 46: Угол \( ADB = 90^{\circ} \) (опирается на диаметр \( AB \)).
47. Шаг 47: В \( ADB \): \( ABD = 63^{\circ} \) (тот же угол \( CBA \)).
    \( DAB = 90^{\circ} - 63^{\circ} = 27^{\circ} \).
48. Шаг 48: Мы ищем \( CBD \).
49. Шаг 49: Так как \( AB ⊥ CD \), то дуга \( AC = AD \) и дуга \( BC = BD \).
    Угол \( ABC = 63^{\circ} \).
    Угол \( BAC = 27^{\circ} \).
50. Шаг 50: Дуга \( BC = 2 \times BAC = 2 \times 27^{\circ} = 54^{\circ} \).
    Дуга \( AC = 2 \times ABC = 2 \times 63^{\circ} = 126^{\circ} \).
51. Шаг 51: Дуга \( BD \) = Дуга \( BC = 54^{\circ} \).
52. Шаг 52: Угол \( CBD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( CD \).
    Нам нужно найти дугу \( CD \).
53. Шаг 53: Дуга \( AD = Дуга \) \( AC = 126^{\circ} \) ? Нет.
54. Шаг 54: Так как \( AB ⊥ CD \), то дуга \( CA = DA \) и дуга \( CB = DB \).
    Дуга \( BC \) = \( 2 \times BAC = 2 \times 27^{\circ} = 54^{\circ} \).
55. Шаг 55: Следовательно, дуга \( BD = 54^{\circ} \).
56. Шаг 56: Угол \( CBD \) опирается на дугу \( CD \).
    Угол \( CAD \) опирается на дугу \( CD \).
57. Шаг 57: Рассмотрим треугольник \( ABD \). Угол \( ADB = 90^{\circ} \). \( ABD = 63^{\circ} \). \( BAD = 27^{\circ} \).
58. Шаг 58: Угол \( CAD = BAD = 27^{\circ} \).
    Следовательно, \( CBD = CAD = 27^{\circ} \).

Ответ: 27°