16.(3 балла) Найдите точки экстремума функции: y = x^3/3 + 2x^2 - 5x - 2

Решение:

Найдем точки экстремума функции \( y = \frac{x^3}{3} + 2x^2 - 5x - 2 \).

1. Найдём производную функции: \( y' = (\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 5x - 2)' = \frac{3x^2}{3} + 4x - 5 = x^2 + 4x - 5 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( x^2 + 4x - 5 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 \).
4. \( \sqrt{D} = 6 \).
5. Критические точки:
• \( x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
• \( x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)
6. Определим точки экстремума, исследуя знак производной:
• При \( x < -5 \) (например, \( x = -6 \)), \( y' = (-6)^2 + 4(-6) - 5 = 36 - 24 - 5 = 7 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -5 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)), \( y' = 0^2 + 4(0) - 5 = -5 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)), \( y' = 2^2 + 4(2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 > 0 \). Функция возрастает.
7. Следовательно, в точке \( x = -5 \) функция имеет максимум, а в точке \( x = 1 \) — минимум.
8. Найдем значения функции в этих точках:
• \( y(-5) = \frac{(-5)^3}{3} + 2(-5)^2 - 5(-5) - 2 = \frac{-125}{3} + 2(25) + 25 - 2 = \frac{-125}{3} + 50 + 23 = \frac{-125}{3} + 73 = \frac{-125 + 219}{3} = \frac{94}{3} \).
• \( y(1) = \frac{1^3}{3} + 2(1)^2 - 5(1) - 2 = \frac{1}{3} + 2 - 5 - 2 = \frac{1}{3} - 5 = \frac{1 - 15}{3} = \frac{-14}{3} \).

Ответ: Точка максимума \( x = -5 \), \( y = \frac{94}{3} \). Точка минимума \( x = 1 \), \( y = -\frac{14}{3} \).