15.(3 балла) Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5см, а высота равна 3см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Question

Accepted Answer

Для нахождения площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды нам нужно найти площадь основания и площадь боковой поверхности.

Основание — правильный треугольник. Пусть сторона основания равна \( a \).
Высота пирамиды \( H = 3 \) см, боковое ребро \( L = 5 \) см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности основания (для апофемы) или радиусом описанной окружности основания (для бокового ребра).
Боковое ребро \( L \), высота пирамиды \( H \) и радиус описанной окружности основания \( R \) связаны теоремой Пифагора: \( L^2 = H^2 + R^2 \).
\( 5^2 = 3^2 + R^2 \)
\( 25 = 9 + R^2 \)
\( R^2 = 16 \)
\( R = 4 \) см.
Связь радиуса описанной окружности правильного треугольника со стороной \( a \): \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
\( 4 = \frac{a}{\sqrt{3}} \)
\( a = 4\sqrt{3} \) см.
Площадь основания \( S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (4\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (16 \cdot 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 48 = 12\sqrt{3} \) см².

Площадь боковой поверхности равна \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_a \), где \( P_{осн} \) — периметр основания, \( h_a \) — апофема.
Периметр основания: \( P_{осн} = 3a = 3 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \) см.
Найдем апофему \( h_a \). Апофема, высота пирамиды \( H \) и радиус вписанной окружности \( r \) связаны: \( h_a^2 = H^2 + r^2 \).
Радиус вписанной окружности \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2 \) см.
\( h_a^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13 \)
\( h_a = \sqrt{13} \) см.
\( S_{бок} = \frac{1}{2} 12\sqrt{3} \sqrt{13} = 6\sqrt{39} \) см².

Ответ: \( S_{полн} = 12\sqrt{3} + 6\sqrt{39} \) см².