15. В треугольнике АВС ∠A = 30°, a ∠B = 45°, BC = 8√2. Найдите АС.

Решение:

Используем теорему синусов для треугольника АВС:

\[ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{AC}{\sin(45°)} = \frac{8\sqrt{2}}{\sin(30°)} \]

Знаем, что \( \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \). Подставим эти значения:

\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \]

\[ AC \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2} \cdot 2 \]

\[ AC \cdot \sqrt{2} = 16\sqrt{2} \]

Разделим обе части на \( \sqrt{2} \):

\[ AC = 16 \]

Ответ: 16.