14. Каучуковый мячик с силой бросили на асф. Отскочив, мячик подпрыгнул на 3,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимается на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 25 см?

Решение:

Высота после первого прыжка: \( h_1 = 3.6 \) м.

Высота после второго прыжка: \( h_2 = \frac{3.6}{2} = 1.8 \) м.

Высота после третьего прыжка: \( h_3 = \frac{1.8}{2} = 0.9 \) м.

Высота после \( n \)-го прыжка является членом геометрической прогрессии:

\[ h_n = h_1 \cdot q^{n-1} \]

где \( h_1 = 3.6 \) (первый член) и \( q = 0.5 \) (знаменатель прогрессии).

Нам нужно найти наименьшее \( n \), при котором \( h_n < 25 \) см = 0.25 м.

\[ 3.6 \cdot (0.5)^{n-1} < 0.25 \]

\[ (0.5)^{n-1} < \frac{0.25}{3.6} = \frac{1/4}{36/10} = \frac{1}{4} \cdot \frac{10}{36} = \frac{10}{144} = \frac{5}{72} \]

Проверим значения высот:

• \( h_1 = 3.6 \) м
• \( h_2 = 1.8 \) м
• \( h_3 = 0.9 \) м
• \( h_4 = 0.45 \) м
• \( h_5 = 0.225 \) м

Высота 0.225 м меньше 0.25 м.

Значит, при 5-м прыжке мячик впервые не достигнет высоты 25 см.

Ответ: 5.