15. Докажите, что перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки к этой прямой.

Решение:

Доказательство:

1. Пусть из точки A к прямой l проведен перпендикуляр AH (длина h) и наклонная AB (длина d), где B — точка на прямой l и B ≠ H.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB, где ∠AHB = 90°.
3. AH — катет, AB — гипотенуза.
4. По теореме о соотношении стороны и угла в прямоугольном треугольнике, гипотенуза всегда больше катета.
5. Следовательно, AB > AH, или d > h.

Таким образом, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из этой же точки к этой прямой.