12. Сформулируйте и докажите признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

Решение:

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

1. Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁, где AC = A₁C₁ (гипотенузы) и ∠A = ∠A₁ (острые углы).
2. Так как оба треугольника прямоугольные, то ∠C = ∠C₁ = 90°.
3. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
4. В треугольнике ABC: ∠B = 180° - ∠C - ∠A = 180° - 90° - ∠A.
5. В треугольнике A₁B₁C₁: ∠B₁ = 180° - ∠C₁ - ∠A₁ = 180° - 90° - ∠A₁.
6. Так как ∠A = ∠A₁, то ∠B = ∠B₁.
7. Мы имеем два треугольника, у которых сторона и два прилежащих к ней угла равны (AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁, ∠C = ∠C₁ — но это неверно, углы C и C1 равны, но не прилежат к стороне AC).
8. Используем второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам):
9. Рассмотрим сторону AC и прилежащие к ней углы ∠A и ∠C.
10. Рассмотрим сторону A₁C₁ и прилежащие к ней углы ∠A₁ и ∠C₁.
11. Мы знаем, что AC = A₁C₁ (по условию).
12. ∠A = ∠A₁ (по условию).
13. ∠C = 90°, ∠C₁ = 90°, значит ∠C = ∠C₁.
14. Таким образом, по второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих угла), треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Теорема доказана.