17 Докажите, что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Решение:

Пусть даны две параллельные прямые \( a \) и \( b \). Возьмём произвольную точку \( A \) на прямой \( a \) и проведём из неё перпендикуляр \( AH \) к прямой \( b \), где \( H \) — точка на прямой \( b \). Длина отрезка \( AH \) является расстоянием между прямыми \( a \) и \( b \).

Теперь возьмём другую точку \( B \) на прямой \( a \) и проведём из неё перпендикуляр \( BK \) к прямой \( b \), где \( K \) — точка на прямой \( b \).

Рассмотрим четырёхугольник \( ABKH \).

• \( AH ⊥ BK \) и \( BK ⊥ a \) (по построению).
• \( AH ∥ BK \) (так как обе перпендикулярны одной и той же прямой \( b \)).
• \( AB ∥ HK \) (по условию, \( a ∥ b \)).
• \( ∠ BKH = 90^{\circ} \) (так как \( BK ⊥ b \)).
• \( ∠ AHB = 90^{\circ} \) (так как \( AH ⊥ b \)).

Четырёхугольник \( ABKH \) является прямоугольником (по признаку: у четырёхугольника два противоположных угла прямые, и хотя бы одна пара сторон параллельна).

Следовательно, \( AH = BK \).

Таким образом, расстояние от любой точки на прямой \( a \) до прямой \( b \) равно \( AH \).

Аналогично доказывается, что расстояние от любой точки на прямой \( b \) до прямой \( a \) равно \( BK \) (или \( AH \)).

Ответ: Доказано.