13. Сформулируйте и докажите признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Решение:

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету: Если гипотенуза и один из катетов одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и одному из катетов другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

1. Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁, где AB = A₁B₁ (гипотенузы) и BC = B₁C₁ (катеты).
2. Так как оба треугольника прямоугольные, то ∠C = ∠C₁ = 90°.
3. Мы имеем два треугольника, у которых две стороны и угол между ними равны (BC = B₁C₁, ∠C = ∠C₁ = 90°, AC = A₁C₁).
4. Для этого нам нужно доказать, что AC = A₁C₁.
5. По теореме Пифагора:
6. В треугольнике ABC: AC² = AB² - BC².
7. В треугольнике A₁B₁C₁: A₁C₁² = A₁B₁² - B₁C₁².
8. Так как AB = A₁B₁ и BC = B₁C₁, то AB² = A₁B₁² и BC² = B₁C₁².
9. Следовательно, AC² = A₁C₁², откуда AC = A₁C₁.
10. Теперь у нас есть два треугольника, у которых две стороны и угол между ними равны (BC = B₁C₁, ∠C = ∠C₁ = 90°, AC = A₁C₁).
11. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Теорема доказана.