14. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса удваивается каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляет 500 мг. Найти массу изотопа через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

Время полураспада изотопа составляет 7 минут.

Начальная масса изотопа: \( m_0 = 500 \) мг.

Время, через которое нужно найти массу: \( t = 42 \) минуты.

Количество периодов полураспада \( n \) равно:

\[ n = \frac{t}{\text{период полураспада}} = \frac{42 \text{ мин}}{7 \text{ мин}} = 6 \]

Масса изотопа после \( n \) периодов полураспада вычисляется по формуле:

\[ m = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \]

Подставим значения:

\[ m = 500 \text{ мг} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 \]

Вычислим \( \left(\frac{1}{2}\right)^6 \):

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64} \]

Теперь найдем массу:

\[ m = 500 \text{ мг} \cdot \frac{1}{64} = \frac{500}{64} \]

Сократим дробь:

\[ m = \frac{250}{32} = \frac{125}{16} \]

Переведем в десятичную дробь:

\[ m = 7.8125 \]

Ответ: 7.8125.