1333*. Частное двух чисел равно наибольшему общему делителю чисел 12 и 16. Сумма этих чисел равна наименьшему общему кратному чисел 50 и 75. Найдите эти числа.

Задание 1333. Поиск двух чисел

Давай найдём первое значение — наибольший общий делитель (НОД) чисел 12 и 16.

• Разложим 12 на простые множители: \( 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 \).
• Разложим 16 на простые множители: \( 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 \).
• Общие множители: \( 2^2 = 4 \).
• НОД (12, 16) = 4.

Итак, частное двух искомых чисел равно 4. Пусть эти числа будут \( a \) и \( b \). Тогда \( \frac{a}{b} = 4 \), или \( a = 4b \).

Теперь найдём второе значение — наименьшее общее кратное (НОК) чисел 50 и 75.

• Разложим 50 на простые множители: \( 50 = 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5^2 \).
• Разложим 75 на простые множители: \( 75 = 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3 \cdot 5^2 \).
• Чтобы найти НОК, берём все множители из обоих разложений с наибольшей степенью: \( 2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 2 \cdot 3 \cdot 25 = 150 \).
• НОК (50, 75) = 150.

Итак, сумма двух искомых чисел равна 150. То есть \( a + b = 150 \).

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( a = 4b \)
2. \( a + b = 150 \)

Подставим первое уравнение во второе:

• \( 4b + b = 150 \)
• \( 5b = 150 \)
• \( b = \frac{150}{5} \)
• \( b = 30 \)

Теперь найдём \( a \), подставив \( b = 30 \) в первое уравнение:

• \( a = 4 \cdot 30 \)
• \( a = 120 \)

Проверим:

• Частное: \( 120 : 30 = 4 \) (равно НОД(12, 16)).
• Сумма: \( 120 + 30 = 150 \) (равно НОК(50, 75)).

Всё верно!

Ответ: Искомые числа — 120 и 30.