1331. 1) Напишите наибольшее трехзначное число, которое делится на 45; 2) Напишите наименьшее четырехзначное число, которое делится на 45.

Задание 1331. Числа, кратные 45

Число делится на 45, если оно делится одновременно на 5 и на 9 (так как \( 45 = 5 \cdot 9 \) и 5 и 9 — взаимно простые числа).

Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5.

Признак делимости на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9.

1) Наибольшее трёхзначное число, делящееся на 45:

Наибольшее трёхзначное число — 999.

Проверим его на делимость на 45:

• Делимость на 5: 999 не делится на 5 (оканчивается на 9).
• Значит, последняя цифра должна быть 0 или 5. Чтобы число было наибольшим, попробуем закончить на 5.

Возьмём число вида \( 99x \), где \( x \) — последняя цифра. Если \( x = 5 \), то число 995. Сумма цифр \( 9+9+5 = 23 \). 23 не делится на 9.

Если \( x = 0 \), то число 990. Сумма цифр \( 9+9+0 = 18 \). 18 делится на 9. Значит, 990 делится на 9.

Проверим, делится ли 990 на 5. Да, оканчивается на 0.

Итак, 990 делится и на 5, и на 9, значит, делится на 45.

Попробуем найти число больше 990, которое делится на 45. Числа, кратные 45, идут с шагом 45. \( 990 + 45 = 1035 \) — это уже четырёхзначное число.

Значит, наибольшее трёхзначное число — 990.

2) Наименьшее четырёхзначное число, делящееся на 45:

Наименьшее четырёхзначное число — 1000.

Проверим его на делимость на 45:

• Делимость на 5: 1000 делится на 5 (оканчивается на 0).
• Делимость на 9: Сумма цифр \( 1+0+0+0 = 1 \). 1 не делится на 9.

Нужно найти число больше 1000, которое делится на 45. Будем увеличивать число и проверять.

Числа, кратные 45, увеличиваются с шагом 45.

• \( 1000 : 45 \approx 22.22 \).
• Значит, ближайшее кратное 45 будет \( 45 \cdot 23 \).
• \( 45 \cdot 23 = 45 \cdot (20 + 3) = 900 + 135 = 1035 \).

Проверим число 1035:

• Делимость на 5: оканчивается на 5, делится.
• Делимость на 9: сумма цифр \( 1+0+3+5 = 9 \). 9 делится на 9, делится.

Значит, 1035 делится на 45.

Ответ:

1. Наибольшее трёхзначное число, делящееся на 45: 990.
2. Наименьшее четырёхзначное число, делящееся на 45: 1035.