10. Сократите дробь \( \frac{8 \cdot 100^n}{2^{3n+1} \cdot 5^{2n-1}} \)

Задание 10. Сокращение дроби

Нужно сократить дробь \( \frac{8 \cdot 100^n}{2^{3n+1} \cdot 5^{2n-1}} \).

Решение:

1. Представим все множители в числителе и знаменателе в виде степеней простых чисел (2 и 5).
2. Число 8 равно \( 2^3 \).
3. Число 100 равно \( 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2 \).
4. Тогда \( 100^n = (2^2 \cdot 5^2)^n = (2^2)^n \cdot (5^2)^n = 2^{2n} \cdot 5^{2n} \).
5. Теперь числитель дроби выглядит так: \( 8 \cdot 100^n = 2^3 \cdot (2^{2n} \cdot 5^{2n}) = 2^{3+2n} \cdot 5^{2n} \).
6. Знаменатель дроби: \( 2^{3n+1} \cdot 5^{2n-1} \).
7. Теперь запишем дробь с разложенными множителями: \[ \frac{2^{3+2n} \cdot 5^{2n}}{2^{3n+1} \cdot 5^{2n-1}} \]
8. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются. Вычтем показатели степени двойки: \( (3+2n) - (3n+1) = 3 + 2n - 3n - 1 = 2 - n \).
9. Вычтем показатели степени пятёрки: \( 2n - (2n-1) = 2n - 2n + 1 = 1 \).
10. Таким образом, сокращённая дробь равна: \[ 2^{2-n} \cdot 5^1 \]
11. Можно записать это как: \( 5 \cdot 2^{2-n} \) или \( 5 \cdot \frac{2^2}{2^n} = \frac{20}{2^n} \).

Ответ: \( 5 \cdot 2^{2-n} \) или \( \frac{20}{2^n} \).