1) Сформулируйте определение и свойства ромба. 2) Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле (любой частный случай)

Билет №5

• 1. Определение и свойства ромба:
  Определение: Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.
  Свойства:
  • Все стороны равны.
  • Противоположные углы равны.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
  • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  • Диагонали перпендикулярны.
  • Диагонали являются биссектрисами углов ромба.
• 2. Теорема о вписанном угле:
  Формулировка: Величина вписанного угла, опирающегося на дугу, равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
  Частный случай: Вписанный угол, опирающийся на диаметр.
  Формулировка: Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен 90°.
  Доказательство: Пусть дан угол ABC, опирающийся на диаметр AC. Центр окружности O лежит на AC. OA = OB = OC = R (радиус окружности).
  Треугольники AOB и BOC - равнобедренные (так как стороны OA=OB и OB=OC равны радиусу).
  Пусть $$\angle BAC = \alpha$$ и $$\angle BCA = \gamma$$. Тогда в равнобедренном треугольнике AOB $$\angle OBA = \alpha$$. В равнобедренном треугольнике BOC $$\angle OBC = \gamma$$.
  Сумма углов треугольника ABC равна 180°:
  \[ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \]
  \[ \alpha + (\angle OBA + \angle OBC) + \gamma = 180^{\circ} \]
  \[ \alpha + (\alpha + \gamma) + \gamma = 180^{\circ} \]
  \[ 2\alpha + 2\gamma = 180^{\circ} \]
  \[ 2(\alpha + \gamma) = 180^{\circ} \]
  \[ \alpha + \gamma = 90^{\circ} \]
  Так как $$\angle ABC = \alpha + \gamma$$, то $$\angle ABC = 90^{\circ}$$. Что и требовалось доказать.