1) Назовите значения синуса, косинуса и тангенса углов 30°, 45°, 60°. 2) Сформулируйте и докажите свойства противоположных сторон и углов параллелограмма.

Билет №7

• 1. Значения тригонометрических функций:
  
  • Для угла 30°:
    \[ \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}, \quad \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \operatorname{tg} 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
    
  • Для угла 45°:
    \[ \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \operatorname{tg} 45^{\circ} = 1 \]
    
  • Для угла 60°:
    \[ \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}, \quad \operatorname{tg} 60^{\circ} = \sqrt{3} \]
• 2. Свойства противоположных сторон и углов параллелограмма:
  Формулировка: В параллелограмме противоположные стороны равны, и противоположные углы равны.
  Доказательство: Пусть дан параллелограмм ABCD. Проведем диагональ AC.
  Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
  
  • AB || DC, BC || AD (по определению параллелограмма).
  • AC - секущая.
    Следовательно, $$\angle BAC = \angle DCA$$ (как накрест лежащие при параллельных AB и DC и секущей AC).
    И $$\angle BCA = \angle DAC$$ (как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AC).
  • AC - общая сторона.
  
  По стороне и двум прилежащим углам (II признак равенства треугольников), треугольники ABC и CDA равны.
  Из равенства треугольников следует, что:
  • AB = CD (противоположные стороны равны).
  • BC = DA (противоположные стороны равны).
  • $$\angle ABC = \angle CDA$$ (противоположные углы равны).
  
  Аналогично, проводя диагональ BD, можно доказать равенство треугольников ABD и CDB, из чего следует, что $$\angle DAB = \angle BCD$$.